ATLASGeometrische Brownsche Bewegung (GBM)
Börsenlexikon · Modelle und Wahrscheinlichkeiten
Das klassische Kursmodell, in dem Renditen zufällig sind, mit stetigem Trend und konstanter Volatilität, sodass Kurse nie negativ werden können.
Definition
Die geometrische Brownsche Bewegung (GBM) ist das Lehrbuchmodell dafür, wie sich ein Aktienkurs entwickelt: Jeder Augenblick bringt einen kleinen Zufallsschock, dessen Größe proportional zum aktuellen Kurs ist, plus einen stetigen Trend (Drift). Sie ist das Modell hinter der Black-Scholes-Optionsformel und der Ausgangspunkt vieler Monte-Carlo-Simulationen.
Unter der GBM folgt der Logarithmus des Kurses einer Normalverteilung, die Kurse sind also lognormalverteilt: Sie können nicht unter null fallen, und ihre Verteilung ist nach oben schief. Daraus folgt, dass das mittlere Ergebnis (Median) niedriger liegt als der Mittelwert, und der Unterschied wächst mit der Volatilität. Echte Kurse haben schwerere Ränder und wechselnde Volatilität, die GBM ist also eine nützliche Vereinfachung, keine wörtliche Wahrheit.
Formel
dS = μ·S·dt + σ·S·dW → S_t = S₀ · exp( (μ − σ²/2)·t + σ·W_t )
S = Kurs, μ = Drift (erwartete Jahresrendite), σ = Volatilität, W = ein Wiener-Prozess (Zufallspfad), t = Zeit in Jahren. Der Term σ²/2 korrigiert den Effekt der sich aufzinsenden Volatilität.
Rechenbeispiel
Nehmen Sie Tesla (TSLA) bei 407,23 $, einer Drift von 7 % pro Jahr und einer jährlichen Volatilität von 41 %. Nach einem Jahr beträgt das mittlere Ergebnis (Mittelwert) unter der GBM 436,76 $, der Median aber nur 401,09 $, weil hohe Volatilität den typischen Verlauf nach unten zieht.
Je volatiler die Aktie, desto weiter fällt der Median unter den Mittelwert: Einige große Gewinner ziehen den Durchschnitt nach oben, während die meisten Verläufe tiefer enden.
So nutzt ATLAS es
ATLAS verwendet die Logik der GBM, Drift und Volatilität, als Grundlage seiner Simulationen und korrigiert sie dann mit Verteilungen mit schweren Rändern, die an vergangene Prognosen angepasst sind.
Dazu in ATLAS: Szenariosimulation →Alle ATLAS-Werkzeuge ansehen →An einer echten Aktie ansehen
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Häufige Fragen
Warum liegt der Median in der GBM unter dem Mittelwert?
Weil sich Renditen aufzinsen. Nach einem Verlust von 50 % braucht es einen Gewinn von 100 %, um wieder zurückzukommen, daher drückt die Volatilität das typische Wachstum eines Verlaufs unter das durchschnittliche Wachstum.
Ist die GBM realistisch?
Nur grob. Echte Renditen haben schwere Ränder und eine Volatilität, die sich mit der Zeit ändert, was die GBM ignoriert; darauf aufbauende Modelle werden daher meist angepasst.
Verwandte Begriffe
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